#SựKiệnNgàyHômNay: Những cấu trúc ẩn trong không gian chung của các nhà toán học
Mehtaab Sawhney đã tham gia một nhóm đọc sau đại học để nghiên cứu một bài báo của Peter Keevash về thiết kế trong toán học. Tuy nhiên, sau khi kết thúc học kỳ, nhóm của Sawhney đã quyết định tiếp tục nghiên cứu sự phức tạp của bằng chứng trong bài báo.
Các đối tượng toán học được gọi là thiết kế đã được sử dụng để giúp phát triển mã sửa lỗi, thử nghiệm thiết kế, kiểm tra phần mềm cũng như giành chiến thắng trong các trận đấu thể thao và xổ số. Tuy nhiên, chúng cực kỳ khó xây dựng với điều kiện k và t phát triển lớn hơn.
Keevash đã chỉ ra rằng ngay cả khi bạn không biết cách xây dựng những thiết kế như vậy, chúng luôn tồn tại với điều kiện N đủ lớn và thỏa mãn một số điều kiện đơn giản. Sawhney, cùng với Ashwin Sah, đã tiếp tục phát triển cách tiếp cận này để chứng minh sự tồn tại của thiết kế không gian con.
Các nhà toán học đã dịch các bài toán về tập hợp và tập con thành các bài toán về không gian vectơ và không gian con. Vectơ có thể được cộng, trừ, làm lớn hơn hoặc nhỏ hơn, chúng có quan hệ tương đối hơn so với một tập hợp đơn giản các điểm.
Các cấu trúc ẩn trong không gian chung của các nhà toán học đang được tiếp tục nghiên cứu, chứng minh cho sự tồn tại của những vật thể mà sự tồn tại của chúng không hề hiển nhiên. Sawhney cho biết đây là một thử thách đầy thú vị và anh ta rất háo hức tiếp tục nghiên cứu và phát triển chúng.
Nguồn: https://www.wired.com/story/mathematicians-find-hidden-structure-in-a-common-type-of-space/
Vào mùa thu của năm 2017, Mehtaab Sawhney, khi đó là sinh viên chưa tốt nghiệp tại Học viện Công nghệ Massachusetts, đã tham gia một nhóm đọc sau đại học nhằm nghiên cứu một bài báo trong một học kỳ. Nhưng đến cuối học kỳ, Sawhney nhớ lại, họ quyết định tiếp tục, bối rối trước sự phức tạp của bằng chứng. “Nó thực sự tuyệt vời,” anh nói. “Nó dường như hoàn toàn ở ngoài đó.”
Bài báo là của Peter Keevash của Đại học Oxford. Chủ đề của nó: các đối tượng toán học được gọi là thiết kế.
Việc nghiên cứu các thiết kế có thể bắt nguồn từ năm 1850, khi Thomas Kirkman, một cha sở tại một giáo xứ ở phía bắc nước Anh, người say mê toán học, đã đặt ra một vấn đề có vẻ đơn giản trong một tạp chí có tên là Nhật ký quý cô và quý ông. Giả sử 15 cô gái đi bộ đến trường theo hàng ba mỗi ngày trong một tuần. bạn có thể sắp xếp chúng để trong suốt bảy ngày đó, không có hai cô gái nào thấy mình ở cùng một hàng hơn một lần?
Chẳng mấy chốc, các nhà toán học đã hỏi một phiên bản tổng quát hơn của câu hỏi của Kirkman: Nếu bạn có N các phần tử trong một tập hợp (15 nữ sinh của chúng tôi), bạn có thể sắp xếp chúng thành các nhóm có kích thước luôn được không k (hàng ba) sao cho mọi tập hợp kích thước nhỏ hơn t (mỗi cặp cô gái) xuất hiện trong chính xác một trong những nhóm đó?
Các cấu hình như vậy, được gọi là (N, k, t) thiết kế, kể từ đó đã được sử dụng để giúp phát triển mã sửa lỗi, thử nghiệm thiết kế, kiểm tra phần mềm cũng như giành chiến thắng trong các trận đấu thể thao và xổ số.
Nhưng chúng cũng cực kỳ khó xây dựng vì k Và t phát triển lớn hơn. Trên thực tế, các nhà toán học vẫn chưa tìm ra một thiết kế có giá trị t lớn hơn 5. Và vì vậy thật bất ngờ khi vào năm 2014, Keevash cho thấy rằng ngay cả khi bạn không biết cách xây dựng những thiết kế như vậy, chúng luôn tồn tạimiễn là N đủ lớn và thỏa mãn một số điều kiện đơn giản.
Bây giờ Keevash, Sawhney và Ashwin Sahmột sinh viên tốt nghiệp tại MIT, đã chỉ ra rằng những vật thể thậm chí còn khó nắm bắt hơn, được gọi là thiết kế không gian con, cũng luôn tồn tại. “Họ đã chứng minh sự tồn tại của những vật thể mà sự tồn tại của chúng không hề hiển nhiên,” ông nói David Côn Lônmột nhà toán học tại Viện Công nghệ California.
Để làm như vậy, họ phải cải tiến cách tiếp cận ban đầu của Keevash—liên quan đến sự pha trộn gần như kỳ diệu giữa tính ngẫu nhiên và cấu trúc cẩn thận—để nó hoạt động trong một môi trường hạn chế hơn nhiều. Và thế là Sawhney, hiện đang theo học tiến sĩ tại MIT, thấy mình phải đối mặt với bài báo đã khiến anh bối rối chỉ vài năm trước đó. Anh ấy nói: “Thật sự rất thú vị khi hiểu đầy đủ các kỹ thuật, thực sự chịu đựng và làm việc với chúng và phát triển chúng.
Minh họa: Merrill Sherman/Tạp chí Quanta
“Vượt lên những gì nằm ngoài sức tưởng tượng của chúng ta”
Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học đã dịch các bài toán về tập hợp và tập con—như câu hỏi thiết kế—thành các bài toán về cái gọi là không gian vectơ và không gian con.
Không gian vectơ là một loại tập hợp đặc biệt mà các phần tử của nó—các vectơ—có quan hệ với nhau theo một cách chặt chẽ hơn nhiều so với một tập hợp đơn giản các điểm có thể có. Một điểm cho bạn biết bạn đang ở đâu. Vectơ cho bạn biết bạn đã di chuyển bao xa và theo hướng nào. Chúng có thể được cộng và trừ, làm lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
[ad_2]
