Một Bằng Chứng Mới Nâng Cao Vấn Đề Hình Học Nan Sticky
#geometry #Kakeya #BằngChứngMới #QuantaMagazine
Phiên bản gốc của câu chuyện này đã xuất hiện trên Quanta Magazine.
Năm 1917, nhà toán học người Nhật Bản Sōichi Kakeya đặt ra một vấn đề hình học ban đầu có vẻ như không có gì hơn là một bài tập thú vị. Đặt một cây kim siêu mỏng có độ dài một inch trên một bề mặt phẳng, sau đó xoay nó để nó trỏ theo mọi hướng. Diện tích nhỏ nhất mà cây kim có thể quét được là bao nhiêu?
Nếu bạn chỉ đơn giản là quay nó quanh trung tâm của nó, bạn sẽ được một hình tròn. Nhưng có thể di chuyển cây kim theo các cách sáng tạo khác nhau, để bạn tạo ra một diện tích nhỏ hơn nhiều. Trong quá trình cố gắng giải quyết câu hỏi này, các nhà toán học đã khám phá ra những mối liên hệ đáng ngạc nhiên với phân tích điều hòa, lý thuyết số và thậm chí cả vật lý.
“Đại loại, hình học của các đường chỉ trỏ vào nhiều hướng khác nhau là phổ biến trong một phần lớn toán học,” Jonathan Hickman của Đại học Edinburgh nói.
Nhưng đó cũng là điều mà các nhà toán học vẫn chưa hiểu rõ hoàn toàn. Trong vài năm qua, họ đã chứng minh những biến thể của giả thuyết Kakeya trong các cài đặt dễ hơn, nhưng câu hỏi vẫn chưa được giải quyết trong không gian ba chiều thông thường. Một thời gian dài, dường như tiến trình đã ngừng lại với phiên bản của giả thuyết đó, mặc dù nó có nhiều hệ quả toán học.
Bây giờ, hai nhà toán học đã di chuyển cây kim, để nói cách khác. Bằng chứng mới của họ xóa bỏ một rào cản lớn đã tồn tại trong nhiều thập kỷ – đánh thức hy vọng rằng một giải pháp có thể cuối cùng sẽ được nhìn thấy.
Điều Gì Quan trọng Nhất?
Kakeya quan tâm đến các tập hợp trong mặt phẳng chứa một đoạn thẳng có độ dài 1 trong mọi hướng. Có nhiều ví dụ về các tập hợp như vậy, đơn giản nhất là một đĩa có đường kính là 1. Kakeya muốn biết tập hợp nhỏ nhất như thế nào.
Ông đề xuất một tam giác có các cạnh lồi một chút, được gọi là deltoid, có diện tích bằng một nửa của đĩa. Tuy nhiên, đã được phát hiện ra rằng có thể làm tốt hơn rất nhiều.
Vào năm 1919, chỉ vài năm sau khi Kakeya đưa ra vấn đề của mình, nhà toán học người Nga Abram Besicovitch chứng minh rằng nếu bạn sắp xếp các cây kim của mình theo một cách rất cụ thể, bạn có thể xây dựng một tập hợp trông rất xù xì có diện tích tùy ý nhỏ. (Do Thế Chiến I và Cách Mạng Nga, kết quả của ông sẽ không được truyền đạt đến toàn bộ thế giới toán học trong một số năm).
Để xem cách điều này có thể hoạt động, hãy lấy một tam giác và chia nó thành các mảnh tam giác mỏng hơn theo chiều dọc. Sau đó, trượt những mảnh đó xung quanh sao cho chúng chồng lên nhau nhiều nhất có thể nhưng lại đi theo các hướng khác nhau một chút. Bằng cách lặp lại quá trình này lần lượt – chia tam giác của bạn thành các mảnh mỏng hơn và mỏng hơn và sắp xếp chúng lại một cách cẩn thận trong không gian – bạn có thể làm tập hợp của mình nhỏ đến bất kỳ mức bạn muốn. Trong giới hạn vô hạn, bạn có thể thu được một tập hợp mà toán học không có diện tích nhưng vẫn có thể, mong manh, chứa được một cây kim trỏ theo bất kỳ hướng nào.
“Điều đó hơi gây ngạc nhiên và trái với trực giác,” Ruixiang Zhang của Đại học California, Berkeley nói. “Đó là một tập hợp rất biểu hiện bất thường.”
Nguồn: https://www.wired.com/story/a-new-proof-moves-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem/
The original version of this story appeared in Quanta Magazine.
In 1917, the Japanese mathematician Sōichi Kakeya posed what at first seemed like nothing more than a fun exercise in geometry. Lay an infinitely thin, inch-long needle on a flat surface, then rotate it so that it points in every direction in turn. What’s the smallest area the needle can sweep out?
If you simply spin it around its center, you’ll get a circle. But it’s possible to move the needle in inventive ways, so that you carve out a much smaller amount of space. Mathematicians have since posed a related version of this question, called the Kakeya conjecture. In their attempts to solve it, they have uncovered surprising connections to harmonic analysis, number theory, and even physics.
“Somehow, this geometry of lines pointing in many different directions is ubiquitous in a large portion of mathematics,” said Jonathan Hickman of the University of Edinburgh.
But it’s also something that mathematicians still don’t fully understand. In the past few years, they’ve proved variations of the Kakeya conjecture in easier settings, but the question remains unsolved in normal, three-dimensional space. For some time, it seemed as if all progress had stalled on that version of the conjecture, even though it has numerous mathematical consequences.
Now, two mathematicians have moved the needle, so to speak. Their new proof strikes down a major obstacle that has stood for decades—rekindling hope that a solution might finally be in sight.
What’s the Small Deal?
Kakeya was interested in sets in the plane that contain a line segment of length 1 in every direction. There are many examples of such sets, the simplest being a disk with a diameter of 1. Kakeya wanted to know what the smallest such set would look like.
He proposed a triangle with slightly caved-in sides, called a deltoid, which has half the area of the disk. It turned out, however, that it’s possible to do much, much better.
The deltoid to the right is half the size of the circle, though both needles rotate through every direction.Video: Merrill Sherman/Quanta Magazine
In 1919, just a couple of years after Kakeya posed his problem, the Russian mathematician Abram Besicovitch showed that if you arrange your needles in a very particular way, you can construct a thorny-looking set that has an arbitrarily small area. (Due to World War I and the Russian Revolution, his result wouldn’t reach the rest of the mathematical world for a number of years.)
To see how this might work, take a triangle and split it along its base into thinner triangular pieces. Then slide those pieces around so that they overlap as much as possible but protrude in slightly different directions. By repeating the process over and over again—subdividing your triangle into thinner and thinner fragments and carefully rearranging them in space—you can make your set as small as you want. In the infinite limit, you can obtain a set that mathematically has no area but can still, paradoxically, accommodate a needle pointing in any direction.
“That’s kind of surprising and counterintuitive,” said Ruixiang Zhang of the University of California, Berkeley. “It’s a set that’s very pathological.”
